Бакельман И. Я.
Инверсия. ПРЕДИСЛОВИЕ
В геометрии основную роль играют различные
преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии,
а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является
сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые
переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет
собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором
прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. Такой подход
позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии
единообразную методику изучения. Это прежде всего относится к задачам
на построение и к теории пучков окружностей. Следует отметить, что
рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения
инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно
искусственных построений, носящих частный характер. Кроме указанных
приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах
элементарной и так называемой высшей геометрии. Речь идет об
интерпретации геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости.
Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее, с простейшими
функциями, аргументом и значениями которых являются комплексные
числа. Настоящая книга посвящена преобразованию инверсии и
ряду ее приложений. Для удобства изложения материал разбит на три
главы. В первой главе подробно изучается преобразование
инверсии и даются ее приложения к вопросам элементарной геометрии. Во
второй главе показано, что преобразования, рассмотренные в главе I,
могут быть заданы линейными и дробно-линейными функциями комплексного
аргумента. Устанавливается также, что и обратно, такие функции
описывают преобразования плоскости, сводящиеся к последовательному
выполнению движений, гомотетии и, может быть, инверсий. В третьей главе
излагается теоретико-групповая точка зрения обоснования геометрии, с
помощью которой, опираясь на материал глав I и II, строятся кратко
планиметрия Евклида и планиметрия Лобачевского. Более подробное изложение вопросов, затронутых в
главе III, читатель может найти в книге Н. В. Ефимова
"Высшая геометрия". В основу настоящей книги легли лекции, прочитанные
автором в разное время школьникам г. Ленинграда. СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Глава I. Инверсия и пучки окружностей
§ 1. Простейшие преобразования плоскости
§ 2. Стереографическая проекция, бесконечно
удаленная точка плоскости
§ 3. Инверсия
§ 4. Свойства инверсии
§ 5. Степень точки относительно окружности.
Радикальная ось двух окружностей
§ 6. Приложение инверсии к решению задач на
построение
§ 7. Пучки окружностей
§ 8. Строение эллиптического пучка
§ 9. Строение параболического пучка
§ 10. Строение гиперболического пучка
§ 11. Теорема Птоломея
Глава II. Комплексные числа и инверсия
§ 12. Геометрическое изображение комплексных
чисел и действий над ними
§ 13. Линейная функция комплексного
переменного и простейшие преобразования плоскости
§ 14. Дробно-линейная функция комплексного
переменного и связанные с ней точечные преобразования плоскости
Глава III. Группы преобразований. Геометрии Евклида и Лобачевского
§ 15. Геометрия группы преобразований
§ 16. Евклидова геометрия
§ 17. Геометрия Лобачевского
© МЦНМО, 2003
М., "Наука" 1966 г., 32 стр.
75 000 экз.
© ФИЗМАТЛИТ, 2003