На основе понятия расстояния можно изучать задачи о кратчайших путях на поверхностях, геометрические свойства многомерных пространств, методы помехоустойчивого кодирования сообщений, методы "сглаживания" результатов измерений и др.

На примере "расстояния" видно, какую роль в математике играет создание общих понятий, находящих порой самые неожиданные применения и связи. Кроме "расстояния", можно было бы еще указать на понятия "функции", "предела", "пространства", "преобразования" и менее известные в широкой аудитории понятия "изоморфизма", "группы", "кольца" и др. Среди этих понятий "расстояние" — одно из наиболее доступных для элементарного объяснения, чем, пожалуй, в основном обусловлен выбор темы этой книги.

Автору хотелось доступными для массового читателя средствами показать, как одна плодотворная идея освещает широкий круг вопросов и служит источником для получения неожиданных результатов или нового взгляда на какую-либо область знания. Эта ситуация, характерная для любой науки, в математике очень часто проявляется в наиболее чистом виде, не заслоненная обилием необходимых, но мешающих подробностей.

Материал, отобранный для книги, в основном диктуется этим общим замыслом.

Первые четыре параграфа как раз и должны раскрыть читателю, как происходит переход от обычного геометрического определения к общему понятию "расстояния" и что это новое "понятие" означает в различных конкретных случаях.

В пятом параграфе описывается так называемое пространство сообщений, играющее важную роль в теории информации и общей теории связи.

Следующий параграф посвящен описанию методов кодирования сообщений, при которых сообщение оказывается устойчивым к ошибкам, возникающим в процессах передачи. Так как во всех реальных средствах связи время от времени возможны ошибки, то эти методы кодирования чрезвычайно существенны для современных систем связи и управления. Так, при передаче с борта космической ракеты на Землю фотографии обратной стороны Луны использовались помехоустойчивые методы кодирования этого сообщения. Необходимо отметить, что основная идея этих методов состоит в надлежащем использовании свойств расстояния в пространстве сообщений.

Седьмой параграф несколько более сложен для понимания. В нем описывается важный класс пространств с расстоянием.

В восьмом параграфе показано, как с помощью понятия расстояния можно получить методы сглаживания результатов измерений, т. е. фактически снижения ошибки в измерении каких-то опытных данных за счет соответствующей математической обработки. По существу в этом параграфе изложен так называемый метод наименьших квадратов. Для понимания этого параграфа нужны некоторые сведения из дифференциального исчисления. Читатель, не обладающий необходимыми познаниями, может этот параграф опустить.

В последнем параграфе рассматриваются возможные обобщения понятия расстояния. Здесь автору хотелось показать, что далеко не всякое обобщение является содержательным, т. е. обладающим интересными свойствами.

Придумать хорошее обобщение какого-либо математического понятия на самом деле не просто. В основе содержательного обобщения всегда лежат какие-то существенные свойства реального мира. В частности, важность понятия расстояния состоит в том, что целый ряд свойств многих реальных объектов связан с их взаимным расположением, которое часто можно охарактеризовать надлежащим образом определеннымрасстоянием. Так, например, хотя электроны в оболочке атомов нельзя представлять себе в виде материальных точек, все же в квантовой механике можно особым образом определить "расстояние" между различными состояниями электронов в атоме. Это "расстояние" по идее близко к одному из определений расстояния из § 7 (так называемое пространство l₂).

Автор будет считать свою задачу выполненной удовлетворительно, если эта книга действительно раскроет перед читателем идеи, о которых говорилось выше.

Автор пользуется случаем выразить признательность И. М. Яглому, давшему ряд цепных советов по улучшению рукописи.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

§ 1. Как определяются математические понятия

§ 2. Расстояние в элементарной геометрии и его свойства

§ 3. Определение метрического пространства и расстояния

§ 4. Некоторые примеры метрических пространств

§ 5. Пространство сообщений

§ 6. Автоматическое исправление ошибок в сообщениях

§ 7. Расстояния и нормы в многомерном пространстве

§ 8. Сглаживание ошибок экспериментальных измерений

§ 9. Более общие определения расстояния

© МЦНМО, 2003
© ФИЗМАТЛИТ, 2003