Материал этой книги в основном излагался автором на лекциях в школьном математическом кружке МГУ. Содержание первой лекции (§§ 1–10) в основном совпадает с содержанием вышедшей в 1940 г. брошюры автора "Геодезические линии".

У читателя предполагается только знакомство с курсом элементарной математики. При этом первые главы носят совершенно элементарный характер, другие же, не требуя специальных знаний, требуют несколько большего навыка к математическому чтению и размышлению.

Весь материал книжки можно рассматривать как элементарное введение в вариационное исчисление (так называется тот раздел математики, в котором систематически изучаются задачи на отыскание минимума или максимума функционалов). Вариационное исчисление не входит в первый концентр курса "высшей математики", изучающегося, например, в технических вузах. Однако мы считаем, что для человека, приступающего к изучению курса "высшей математики", не бесполезно заглянуть подальше вперед.

Для читателя, знакомого с элементами математического анализа, не представит труда сделать некоторые определения и рассуждения, излагаемые в книжке не строго, совершенно строгими (поясняющие соображения для этого он часто найдет в тексте, данном мелким шрифтом); нужно, например, говорить не о малых величинах и их приближенном равенстве, а о бесконечно малых величинах и их эквивалентности. Если более взыскательный читатель останется все же неудовлетворенным допущенным здесь уровнем строгости и логической законченности рассмотрений, то пусть это послужит для него объяснением необходимости той логической шлифовки основных понятий математического анализа, с которой он столкнется, например, в университетских курсах анализа. Без этой шлифовки невозможно строгое и систематическое изложение таких глав анализа, как вариационное исчисление.

Математический анализ выработал мощный аналитический аппарат, решающий иногда автоматически многие трудные задачи. Однако на всех этапах овладения математикой исключительно важно видеть простой геометрический или физический смысл решаемой задачи. Нужно уметь решать задачи "на пальцах", как говорят математики, т. е. находить пусть нестрогое, но простое и наглядное доказательство.

Если эта небольшая книжка хоть в некоторой мере будет способствовать развитию у читателей этих элементов математической культуры, то автор будет считать, что труд, затраченный им на ее написание, оказался не бесполезным.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

ЛЕКЦИЯ 1

Глава I. Кратчайшие линии на простейших поверхностях

   § 1. Кратчайшие линии на многогранных поверхностях

   § 2. Кратчайшие линии на поверхности цилиндра

   § 3. Кратчайшие линии на конической поверхности

   § 4. Кратчайшие линии на поверхности шара

Глава II. Некоторые свойства плоских и пространственных кривых и относящиеся к ним задачи

   § 5. Касательная и нормали к плоским кривым и связанные с ними задачи

   § 6. Некоторые сведения из теории плоских и пространственных кривых

   § 7. Некоторые сведения из теории поверхностей

Глава III. Геодезические линии

   § 8. Теорема И. Бернулли о геодезических линиях

   § 9. Дополнительные замечания о геодезических линиях

   § 10. Геодезические линии на поверхностях вращения

ЛЕКЦИЯ 2

Глава IV. Задачи, связанные с потенциальной энергией натянутой нити

   § И. Движения линий, не меняющие их длин

   § 12. Эволюты и эвольвенты.

   § 13. Задачи на равновесие системы упругих нитей

Глава V. Изопериметрическая задача

   § 14. Кривизна и геодезическая кривизна

   § 15. Изопериметрическая задача

Глава VI. Принцип Ферма и его следствия

   § 16. Принцип Ферма

   § 17. Кривая рефракции

   § 18. Задача о брахистохроне

   § 19. Цепная линия и задача о наименьшей поверхности вращения

   § 20. Связь между механикой и оптикой

© МЦНМО, 2003
© ФИЗМАТЛИТ, 2003