В этой книге автор попытался (в форме, доступной учащимся старших классов) объяснить некоторые понятия высшей математики *), такие, как производная, дифференциальное уравнение, число е, натуральный логарифм (чаще всего школьники узнают о существовании двух последних понятий и интересуются ими). Пояснение этих понятий я пытался сделать возможно более наглядным, опираясь на решение задач, взятых из физики. При этом, помимо наглядности, я руководствовался стремлением показать, что понятия "высшей" математики являются математическим отражением свойств реальных процессов, совершающихся в природе, лишний раз показать, что математика связана с жизнью, а не оторвана от нее, что она развивается, а не является неизменной, завершенной наукой.

Не все доказательства и рассуждения, имеющиеся в книге, проведены с полной математической строгостью. Некоторые рассуждения носят характер наглядных пояснений. Такой метод изложения казался мне наиболее подходящим для популярной книги.

Книга может быть использована в работе школьных математических и физических кружков; для ее понимания требуются знания в объеме примерно девяти классов средней школы. Частично материал книги содержался в лекции для школьников, прочитанной автором по просьбе руководителей школьных математических кружков при МГУ.

Пользуюсь случаем выразить искреннюю признательность А. И. Маркушевичу и А. 3. Рывкину за их ценные советы и замечания о тексте рукописи.

*) С некоторыми понятиями высшей математики читатели могут познакомиться по другим книгам этой же серии: А, И. Маркушевич, Площади и логарифмы (выпуск 9); И. П. Натансон, Суммирование бесконечно малых величин (выпуск 12).

СОДЕРЖАНИЕ

От автора

Задача о падении тела

    Постановка задачи

    Качественное решение задачи

    Формула скорости падения тела. Число е

Дифференцирование

    Понятие производной

    Дифференциальное уравнение

    Две задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

       а) Включение тока

       б) Радиоактивный распад

    Натуральные логарифмы

Гармонические колебания

    Задача о малых колебаниях мзятника

    Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

    Колебательный контур

    Колебания под действием упругой силы пружины

Некоторые другие применения понятия производной

    Наибольшие и наименьшие значения

    Задача о проведении касательной

    Моделирование

Заключение

© МЦНМО, 2003
© ФИЗМАТЛИТ, 2003